Exercices Sinus - Difficile
Prêt à relever des défis ? Ces exercices de niveau expert te préparent aux problèmes les plus complexes du Brevet et aux concours. Maîtrise le sinus comme un pro.
Compétences requises
Avant d'attaquer ces exercices, assure-toi de maîtriser les niveaux facile et moyen. Tu dois être à l'aise avec les calculs trigonométriques de base.
- Formule sin = opposé / hypoténuse
- Utilisation de la calculatrice (arcsin)
- Identification des triangles rectangles
- Théorème de Pythagore
Ce qui rend ces exercices difficiles
Les exercices de niveau difficile se distinguent par leur complexité accrue. Tu ne trouveras pas ici de simples applications directes de la formule du sinus. Au contraire, ces problèmes demandent de la réflexion, de la stratégie et une bonne vision dans l'espace.
Situations multi-triangles
La difficulté principale vient des figures comportant plusieurs triangles rectangles. Il faut savoir identifier chaque triangle, déterminer quelles informations sont connues dans chacun, et établir une stratégie pour calculer les inconnues étape par étape. Souvent, le résultat d'un premier calcul devient une donnée pour le triangle suivant.
Problèmes dans l'espace
Certains exercices font intervenir des figures en 3D comme des pyramides, des cônes ou des situations réelles (bâtiments, montagne vue de deux points différents). La difficulté est de "voir" les triangles rectangles cachés dans ces figures et de les représenter sur un schéma en 2D pour pouvoir appliquer la trigonométrie.
Combinaison avec d'autres notions
À ce niveau, le sinus est souvent combiné avec le théorème de Thalès, les propriétés des triangles semblables, ou le calcul d'aires. Tu dois maîtriser l'ensemble du programme de géométrie de 3ème pour réussir ces exercices.
Exercices type niveau expert
La montagne vue de deux villages
Depuis un village A, on observe le sommet S d'une montagne sous un angle de 25° avec l'horizontale. Depuis un village B, situé à 3 km de A dans la direction de la montagne, on observe le même sommet sous un angle de 40°. Les villages A et B sont au même niveau. Calculer la hauteur de la montagne.
Méthode de résolution :
- Soit H le pied de la montagne (à la verticale de S). Poser x = BH (distance du village B à la montagne)
- Dans le triangle BSH rectangle en H : tan(40°) = h/x donc h = x × tan(40°)
- Dans le triangle ASH rectangle en H : tan(25°) = h/(x+3) donc h = (x+3) × tan(25°)
- Égaliser : x × tan(40°) = (x+3) × tan(25°)
- Résoudre : x × 0.839 = x × 0.466 + 1.398 → x × 0.373 = 1.398 → x ≈ 3.75 km
- Calculer h = 3.75 × tan(40°) ≈ 3.15 km = 3150 mètres
L'arête de la pyramide
Une pyramide régulière à base carrée a une base de côté 6 cm. L'arête latérale forme un angle de 55° avec la base. Calculer la hauteur de la pyramide et la longueur d'une arête latérale.
Méthode de résolution :
- Le centre O de la base est à l'intersection des diagonales
- La diagonale du carré = 6√2 ≈ 8.49 cm, donc OA = 8.49/2 ≈ 4.24 cm (A = sommet de la base)
- Le triangle SOA est rectangle en O (S = sommet de la pyramide)
- L'angle OSA = 55° est l'angle entre l'arête et la base
- tan(55°) = SO/OA → SO = 4.24 × tan(55°) = 4.24 × 1.428 ≈ 6.05 cm (hauteur)
- sin(55°) = SO/SA → SA = SO/sin(55°) = 6.05/0.819 ≈ 7.39 cm (arête)
Le phare et les deux bateaux
Du haut d'un phare de 45 mètres, un gardien observe deux bateaux alignés dans la même direction. L'angle de dépression vers le bateau le plus proche est de 32°, celui vers le bateau le plus éloigné est de 18°. Calculer la distance entre les deux bateaux.
Méthode de résolution :
- L'angle de dépression = angle avec l'horizontale, donc angle dans le triangle = angle de dépression
- Bateau proche (B1) : tan(32°) = 45/d₁ → d₁ = 45/tan(32°) = 45/0.625 ≈ 72 m
- Bateau éloigné (B2) : tan(18°) = 45/d₂ → d₂ = 45/tan(18°) = 45/0.325 ≈ 138.5 m
- Distance entre les bateaux = d₂ - d₁ = 138.5 - 72 = 66.5 mètres
Conseils pour réussir
Stratégies gagnantes
- • Toujours faire un schéma clair, même s'il n'est pas à l'échelle
- • Identifier TOUS les triangles rectangles de la figure
- • Nommer les points et les distances inconnues (x, h, d...)
- • Écrire les équations avant de calculer
- • Vérifier la cohérence du résultat (ordre de grandeur)
- • Garder les valeurs exactes le plus longtemps possible
Pièges à éviter
- • Confondre angle d'élévation et angle de dépression
- • Oublier qu'un observateur a une hauteur (1.5-1.8m)
- • Arrondir trop tôt (erreur qui se propage)
- • Se tromper de triangle quand il y en a plusieurs
- • Oublier de vérifier le mode de la calculatrice
- • Ne pas relire l'énoncé pour répondre à la bonne question
